[ Chương 1 :Dao động cơ ] Con lắc đơn Phần 2

[ Chương 1 :Dao động cơ ] Con lắc đơn ( Thi THPT quốc gia ) Phần 2

Con lắc đơn [ Phần 2 ]

1. Liên hệ giữa góc ở tâm vòng tròn với cung mà góc ấy chắn:

Gọi $\large \alpha$ là góc ở tâm vòng tròn chắn cung s. Gọi R là bán kính vòng tròn. Góc $\large \alpha$ (tính bằng radian) được tính bằng công thức:

$\large \alpha = \frac{s}{R}$

2. Công thức tính góc lệch của dây treo con lắc đơn so với phương thẳng đứng

Gọi $\large \alpha$ là góc lệch (tính bằng radian) của dây treo con lắc khi vật m cách vị trí cân bằng O một cung bằng s.

Vì dây không giãn nên bán kính vòng tròn đúng bằng chiều dài l của dây. Do đó:góc $\large \alpha$ (còn gọi là li độ góc) tính bằng công thức:

$\large \alpha = \frac{s}{l}$

Gọi $\large \alpha$ _o là góc lệch cực đại (tính bằng radian) của dây treo con lắc so với phương thẳng đứng. Lúc này vật m cách vị trí cân bằng O một cung bằng s_o. Tương tự như trên, góc $\large \alpha$ _o (còn gọi là biên độ góc) được tính bằng công thức::

$\large \alpha_{o} = \frac{s_{o}}{l}$

Nếu $\large \alpha_{o} \leq 10^{o}$ thì quỹ đạo chuyển động của vật m được coi như một đoạn thẳng. Trong trường hợp này, ta có thể đặt s = x và s_o = A. Do đó có thể viết:

$\large \alpha = \frac{x}{l}$
$\large \alpha_{o} = \frac{A}{l}$

3. Phương trình dao động điều hòa của con lắc đơn

Nếu $\large \alpha_{o} \leq 10^{o}$ thì $\large sin\alpha \approx \alpha$ . Trong đó góc $\large \alpha$ tính bằng đơn vị radian. Trong trường hợp này thành phần tiếp tuyến của vectơ trọng lực luôn hướng về vị trí cân bằng và có độ lớn gần đúng bằng mg $\large \alpha$ .

Thành phần tiếp tuyến với quỹ đạo của vectơ trọng lực đóng vai trò lực kéo về: F = - mg $\large \alpha$ .

Áp dụng định luật II Niutơn: F = ma

Ta được: a = - g. $\large \alpha$

Vì

$\large \alpha = \frac{s}{l}$

Suy ra:

Đặt

$\large \omega^{2} = \frac{g}{l}$

Ta được:

$\large a = - \omega ^{2}.s$

Phương trình này chứng tỏ con lắc đơn dao động với biên độ góc nhỏ được coi là dao động điều hòa với phương trình

hoặc

$\large x = A cos(\omega t + \varphi )$

Chia 2 vế của 2 phương trình trên với chiều dài l của sợi dây ta được:

$\large \alpha = \alpha _{o} cos(\omega t + \varphi )$

Trong các phương trình trên, tần số góc của con lắc đơn là

$\large \omega =\sqrt{\frac{g}{l}}$

4. Các công thức tính chu kỳ, tần số của con lắc đơn dao động với biên độ nhỏ

Chu kỳ:

$\large T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

Tần số:

$\large f = \frac{1}{2\pi } \sqrt{\frac{g}{l}}$

5. Con lắc đơn thay đổi chu kỳ do thay đổi nhiệt độ và độ cao

Gọi l là chiều dài của dây treo con lắc ở nhiệt độ t^oC dao đôngj nhỏ tại mặt đất nơi có gia tốc rơi tự do g.

$\large T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

Gọi l' là chiều dài của dây treo con lắc ở độ cao h, nơi có nhiệt độ t'^oC. Ở độ cao này gia tốc rơi tự do là g'

$\large T' = 2\pi \sqrt{\frac{l'}{g'}}$

Ta có (theo kiến thức Vật Lý Lớp 11 và Vật Lý Lớp 10):

$\large l'=l(1 + \lambda (t'-t))$

$\large g'= \frac{g}{(1 +\left \frac{h}{R}} \right )^{2}$

Trong đó $\large \lambda$ là hệ số nở dài do nhiệt độ của dây treo con lắc; R là bán kính Trái Đất (thường lấy gần đúng bằng 6400 km); h là độ cao nơi con lắc dao động (tính bằng km như bán kính R của Trái Đất)

Dùng các công thức gần đúng với các đại lượng rất nhỏ, ta chứng minh được:

$\large \frac{T'}{T} \approx 1 + \frac{\lambda (t'-t)}{2} +\frac{h}{R}$

Nếu T là chu kỳ của một con lắc đồng hồ chạy đúng ở mặt đất nơi có nhiệt độ t^oC và coi con lắc đồng hồ này là một con lắc đơn (T=2s) và T' là chu kỳ của đồng hô này khi đưa lên độ cao h, nơi có nhiệt độ t'^oC.

Nếu T' $\large \neq$ T ta nói đồng hồ chạy sai.
Nếu T' > T: Đồng hồ chạy chậm.
Nếu T' < T: Đồng hồ chạy nhanh.

Thời gian đồng hồ chạy sai (tính bằng đơn vị giây) trong 1 giây là

$\large \frac{|T'-T|}{T'}$

Thời gian đồng hồ chạy sai (tính bằng đơn vị giây) trong 1 ngày (tức là 24 giờ) là

6. Con lắc đơn trong thang máy chuyển động thẳng biến đổi đều với gia tốc có độ lớn a

Gọi g là gia tốc rơi tự do nơi đặt thang máy; g' là gia tốc rơi tự do biểu kiến khi thang máy chuyển động thẳng biến đổi đều. Ta chứng minh được công thức sau:

$\large g' = g \pm a$

Dấu " + " khi thang máy đi lên nhanh dần đều hoặc đi xuống chậm dần đều.
Dấu "-" khi thang máy đi lên chậm dần đều hoặc đi xuống nhanh dần đều.

Chu kỳ dao động nhỏ của con lắc trong thang máy là

7. Con lắc đơn trong ô tô chuyển động thẳng biến đổi đều trên đường ngang với gia tốc có độ lớn a

Gọi g là gia tốc rơi tự do nơi ô tô chuyển động; g' là gia tốc rơi tự do biểu kiến khi ô tô chuyển động thẳng biến đổi đều. Ta chứng minh được công thức sau:

$\large g'= \sqrt{g^{2} + a^{2}}$

hoặc

$\large g'= g\sqrt{1 + \left (\frac{a}{g} \right )^{2}}$

Trong trường hợp này khi vật m ở vị trí cân bằng thì dây treo con lắc không có phương thẳng đứng nữa mà lệch đi một góc $\large \beta$ .

Công thức tính góc lệch $\large \beta$ của dây treo so với phương thẳng đứng khi vật m cân bằng là

$\large tan\beta = \frac{a}{g}$

Chu kỳ dao động nhỏ của con lắc trong ô tô này là

$\large T'= 2\pi \sqrt{\frac{l}{g'}}$

8. Con lắc đơn trong điện trường đều $\large \vec{E}$ có phương thẳng đứng

Giả sử vật m của con lắc làm bằng kim loại (để có thể mang điện tích q dương hoặc âm) và dây treo con lắc hoàn toàn cách điện.

Nếu tích điện tích q cho vật m rồi đặt vào điện trường $\large \vec{E}$ nói trên thỉ lực diện trường tác dụng vào vật m là

Cũng giả sử rằng độ lớn của lực điện trường nhỏ hơn trọng lượng của vật m: |q|E < mg thì gia tốc rơi tự do biểu kiến g' được tính bằng công thức sau:

Trong đó:

q là đại lượng dương nếu ta tích điện dương cho vật m; là đại lượng âm nếu ta tích điện âm cho vật m.
Dấu " + " khi $\large \vec{E}$ thẳng đứng hướng xuống.
Dấu " - " khi $\large \vec{E}$ thẳng đứng hướng lên.

Chu kỳ dao động nhỏ của con lắc trong điện trường này là

9. Con lắc đơn trong điện trường đều $\large \vec{E}$ có phương nằm ngang

Giả sử vật m của con lắc làm bằng kim loại (để có thể mang điện tích q dương hoặc âm) và dây treo con lắc hoàn toàn cách điện.

Nếu tích điện tích q cho vật m rồi đặt vào điện trường $\large \vec{E}$ nói trên thỉ lực diện trường tác dụng vào vật m là

$\large \vec{F} = q.\vec{E}$

Gia tốc rơi tự do biểu kiến g' được tính bằng công thức sau:

Trong trường hợp này khi vật m ở vị trí cân bằng thì dây treo con lắc không có phương thẳng đứng nữa mà lệch đi một góc $\large \beta$ .

Công thức tính góc lệch $\large \beta$ của dây treo so với phương thẳng đứng khi vật m cân bằng là

Trong đó:

q là đại lượng dương nếu ta tích điện dương cho vật m; là đại lượng âm nếu ta tích điện âm cho vật m.
- 90^o < $\large \beta$ < 90^o .
Nếu $\large \beta$ > 0 thì dây treo con lắc bị lệch theo hướng của $\large \vec{E}$ .
Nếu $\large \beta$ < 0 thì dây treo con lắc bị lệch ngược hướng của $\large \vec{E}$ .