TỔNG HỢP HAI DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA CÙNG PHƯƠNG, CÙNG TẦN SỐ

1. Phương pháp biểu diễn một dao động điều hòa thành một vectơ

Bất kỳ một đại lượng dao động điều hòa nào cũng có thể được biểu diễn thành một vectơ quay đều với tốc độ góc $\large \omega$ quanh gốc O của trục tọa độ Ox. Hình chiếu của đầu mút M của vectơ tại mỗi thời điểm lên trục Ox cho ta biết li độ và hướng chuyển động của dao động điều hòa đang xét tại thời điểm đó.

Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình $\large x = Acos(\omega t + \varphi )$ có thể được biểu diễn thành vectơ $\large \vec{A}$ .

Lúc t = 0:

$\large \vec{A}$ có

Điểm đặt: tại O
Hướng: Hướng về đỉnh cung bằng pha ban đầu $\large \varphi$ trên vòng tròn lượng giác (hợp với trục Ox một góc bằng $\large \varphi$ ).
Độ dài: tỉ lệ với biên độ A theo một tỉ xích tự chọn.

Sau t giây, $\large \vec{A}$ quay được một góc bằng

$\large \omega$ theo chiều dương lượng giác.

Tại thời điểm t:

$\large \vec{A}$ có

Điểm đặt: tại O
Hướng: Hướng về đỉnh cung bằng pha dao động $\large ( \omega t + \varphi)$ trên vòng tròn lượng giác (hợp với trục Ox một góc bằng $\large ( \omega t + \varphi)$ ).
Độ dài: tỉ lệ với biên độ A theo một tỉ xích như lúc t = 0.

Hình vẽ bên cạnh minh họa cho phương pháp nêu trên:

Lúc t = 0: Đầu mút của $\large \vec{A}$ là điểm M_o .
Lúc t : Đầu mút của $\large \vec{A}$ là điểm M_t .

Khi điểm M chuyển động tròn đều trên vòng tròn thì $\large \vec{A}$ quay đều theo chiều dương lượng giác với tốc độ góc $\large \omega$ .

Hình chiếu của M_o lên trục Ox là điểm P_o.cho ta biết li độ của chất điểm dao động điều hòa lúc t = 0.

Hình chiếu của M_t lên trục Ox là diểm P_t cho ta biết li độ của chất điểm dao động điều hòa tại thời điểm t. .

Ta có thể biểu diễn hai đại lượng dao động điều hòa $\large x_{1} = A_{1}cos(\omega t + \varphi _{1})$ và $\large x_{2} = A_{2}cos(\omega t + \varphi _{2})$ thành hai vectơ $\large \vec{A_{1}}$ và $\large \vec{A_{2}}$ trên cùng một hình với điều kiện là độ dài của hai vectơ phải được biểu diễn với cùng một tỉ xích. Hình vẽ sau đây là một ví dụ để biểu diễn
A₂ = 1,4A₁ (Ví dụ: A₁ = 5 cm; A₂ = 7 cm); $\large \varphi_{1} = \pi /6$ ; $\large \varphi_{2} = \pi /3$ .

2. Độ lệch pha giữa hai dao động điều hòa cùng tần số

Nếu hai dao động điều hòa cùng tần số thì các vectơ quay biểu diễn chúng sẽ quay với cùng tốc độ góc. Như thế góc hợp bởi hai vectơ này luôn không đổi. Ta gọi góc này là độ lệch pha giữa hai dao động này.

Trong hình 7.1, góc M₂ÔM₁ là góc lệch pha giữa hai dao động điều hòa x₁, x₂.

Xét hai dao động điều hòa $\large x_{1} = A_{1}cos(\omega t + \varphi _{1})$ và $\large x_{2} = A_{2}cos(\omega t + \varphi _{2})$ .

Độ lệch pha giữa hai dao động này là

$\large \Delta \varphi = \varphi _{2} - \varphi _{1}$ hoặc $\large \Delta \varphi = \varphi _{1} - \varphi _{2}$

Xét trường hợp $\large \Delta \varphi = \varphi _{2} - \varphi _{1}$

Nếu $\large \Delta \varphi$ > 0 : Ta nói dao động x₂ sớm pha (nhanh pha) hơn dao động x₁ hoặc nói gọn là x₂ sớm pha(nhanh pha) hơn x₁.
Nếu $\large \Delta \varphi$ < 0 : Ta nói dao động x₂ trễ pha (chậm pha) hơn dao động x₁ hoặc nói gọn là x₂ trễ pha (chậm pha) hơn x₁ .
Nếu $\large \Delta \varphi = \frac{\pi }{2} + k\pi$ : Ta nói dao động x₂ vuông pha với dao động x₁ hoặc nói gọn là x₂ vuông pha với x₁ .Trường hợp này hai vectơ $\large \vec{A_{1}}$ và $\large \vec{A_{2}}$ vuông góc nhau.
Nếu $\large \Delta \varphi = k2\pi$ : Ta nói dao động x₂ cùng pha với dao động x₁ hoặc nói gọn là x₂ cùng pha với x₁.Trường hợp này hai vectơ $\large \vec{A_{1}}$ và $\large \vec{A_{2}}$ cùng hướng với nhau.
Nếu $\large \Delta \varphi = \pi + k2\pi = (2k+1)\pi$ : Ta nói dao động x₂ ngược pha với dao động x₁ hoặc nói gọn là x₂ ngược pha với x₁ .Trường hợp này hai vectơ $\large \vec{A_{1}}$ và $\large \vec{A_{2}}$ ngược hướng với nhau.

3. Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số:

Xét hai dao động điều hòa $\large x_{1} = A_{1}cos(\omega t + \varphi _{1})$ và $\large x_{2} = A_{2}cos(\omega t + \varphi _{2})$ .

Độ lệch pha giữa hai dao động này là

$\large \Delta \varphi = \varphi _{2} - \varphi _{1}$ hoặc $\large \Delta \varphi = \varphi _{1} - \varphi _{2}$

Nếu biểu diễn hai đại lượng x₁ và x₂ thành hai vectơ thì vì tốc độ góc $\large \omega$ giống nhau nên góc hợp bởi hai vectơ này (và cả độ lớn của chúng) đều không đổi. Vì thế vectơ tổng của hai vectơ này cũng quay theo chiều dương lượng giác (ngược chiều kim đồng hồ) với tốc độ góc $\large \omega$ và cũng có độ lớn không đổi.

Từ đó, Fresnel đề xuất phương pháp để tổng hợp hai dao động điều hòa cùng tần số như sau:

a) Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng tần số bằng phương pháp Fresnel

Phương pháp này tối ưu trong rât nhiều trường hợp giải bài tập tổng hợp dao động vì sự nhanh chóng và tính tư duy của phương pháp.

Các bước như sau:

Bước 1: Biểu diễn hai dao dộng điều hòa đang xét thành hai vectơ $\large \vec{A_{1}}$ và $\large \vec{A_{2}}$ .
Bước 2. Dùng quy tắc hình bình hành để biểu diễn vectơ tổng $\large \vec{A}$ trên hình

$\large \vec{A} = \vec{A_{1}} + \vec{A_{2}}$

Bước 3: Tìm độ lớn A của vectơ tổng và góc $\large \varphi$ mà vectơ $\large \vec{A}$ hợp với trục Ox.
Bước 4: Viết phương trình dao động tổng hợp: $\large x = Acos(\omega t + \varphi )$ .

b) Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng tần số bằng phương pháp đại số:

Tổng quát hóa phương pháp nói trên người ta thiết lập được công thức sau để tính biên độ A và pha ban đầu $\large \varphi$ của dao động tổng hợp

Biên độ A của dao động tổng hợp:

$\large A^{2} = A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + 2A_{1}A_{2}cos\Delta \varphi$ (1)

Pha ban đầu $\large \varphi$ của dao động tổng hợp:

$\large tan\varphi = \frac{A_{1}sin\varphi _{1}+A_{2}sin\varphi _{2}}{A_{1}cos\varphi _{1}+A_{2}cos\varphi _{2}}$ (2)

Phương trình này có hai nghiệm của $\large \varphi$ , ta phải dùng phương pháp hình học để xác định góc $\large \varphi$ cho phù hợp

Từ công thức (1) ta có nhận xét sau:

Nếu $\large \Delta \varphi = k2\pi$ (hai dao động thành phần cùng pha) thì biên độ dao động tổng hợp là A = A₁ + A₂ (lớn nhất).

Nếu $\large \Delta \varphi = \pi + k2\pi = (2k+1)\pi$ (hai dao động thành phần ngược pha) thì biên độ dao động tông hợp A = |A₁ - A₂| (nhỏ nhất).

Nếu $\large \Delta \varphi = \frac{\pi }{2} + k\pi$ (hai dao động thành phần vuông pha) thì biên độ dao động tổng hợp $\large A = \sqrt{A_{1}^{2} + A_{2}^{2}}$ .

Nếu $\large \Delta \varphi = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi$ (hai dao động thành phần lệch pha nhau góc 60^o) thì $\large A = A_{1}\sqrt{3} = A_{2}\sqrt{3}$ .
Nếu $\large \Delta \varphi = \pm \frac{2\pi }{3} + k2\pi$ (hai dao động thành phần lệch pha nhau góc 120^o) thì A = A₁ = A₂ .

c) Tổng hợp hai dao động điêu hòa cùng tần số bằng cách dùng máy tính:

Với máy tính Casio fx-570ES

1. Chuyển máy tính sang chế độ tính toán số phức: Bấm MODE Chọn 2

2. Chuyển sang đơn vị tính góc là radian: Bấm SHIFT MODE Chọn 4.

3. Chuyển chế độ hiển thị Math in/out: Bấm SHIFT MODE Chọn 1.

4. Nhập liệu:

Nhập biên độ A₁ $\large \rightarrow$ Bấm SHIFT (-) (để làm hiện ra dấu góc $\large \angle$ ) $\large \rightarrow$ Nhập pha ban đầu $\large \varphi _{1}$ .
Bấm +
Nhập biên độ A₂ $\large \rightarrow$ Bấm SHIFT (-) (để làm hiện ra dấu góc $\large \angle$ ) $\large \rightarrow$ Nhập pha ban đầu $\large \varphi _{2}$ .

5. Đọc kết quả:

Bấm =

Kết quả thu được là một số phức dạng a + bi

Ta phải chuyển sang chế độ đọc kết quả theo tọa độ cực:

Bấm SHIFT 2 Chọn 3
Bấm =

Kết quả có dạng A $\large \angle$ $\large \varphi$ trong đó A là biên độ dao động tổng hợp và $\large \varphi$ là pha ban đầu của dao động tổng hợp.

Nếu kết quả chỉ là một số thực và không có dấu $\large \angle$ ta hiểu rằng trường hợp này

$\large \varphi$ = 0 và số thực đó chính là biên độ A của dao động tổng hợp.